Qu'est-ce qu'une suite numérique ?
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres appelés termes. Chaque terme a un rang, souvent noté n (entier naturel). Par exemple, la suite des nombres pairs : 0, 2, 4, 6, ... Le premier terme (rang 0) est 0, le deuxième (rang 1) est 2, etc. On note généralement le terme de rang n par uₙ.
Il existe deux types de suites très importantes en algèbre : les suites arithmétiques et les suites géométriques. On les rencontre dès la classe de première, mais leurs bases sont abordables dès le collège.
Suite arithmétique : définition et formule
Une suite arithmétique est une suite où on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison (notée r).
Formule de récurrence : uₙ₊₁ = uₙ + r.
Formule du terme général : uₙ = u₀ + n × r, où u₀ est le premier terme.
Exemple pas à pas
Soit une suite arithmétique de premier terme u₀ = 5 et de raison r = 3.
- Étape 1 : Identifier u₀ et r. Ici u₀ = 5, r = 3.
- Étape 2 : Calculer les premiers termes : u₁ = u₀ + r = 5 + 3 = 8 ; u₂ = u₁ + r = 8 + 3 = 11 ; u₃ = u₂ + r = 11 + 3 = 14.
- Étape 3 : Trouver le terme général : uₙ = u₀ + n × r = 5 + 3n.
- Étape 4 : Calculer un terme quelconque, par exemple u₁₀ : u₁₀ = 5 + 3 × 10 = 5 + 30 = 35.
On peut aussi calculer la somme des n premiers termes : Sₙ = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2. Pour les 11 premiers termes (de u₀ à u₁₀) : S = 11 × (5 + 35) / 2 = 11 × 40 / 2 = 11 × 20 = 220.
Suite géométrique : définition et formule
Une suite géométrique est une suite où on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison (notée q).
Formule de récurrence : uₙ₊₁ = uₙ × q.
Formule du terme général : uₙ = u₀ × qⁿ.
Exemple pas à pas
Soit une suite géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison q = 3.
- Étape 1 : Identifier u₀ et q. Ici u₀ = 2, q = 3.
- Étape 2 : Calculer les premiers termes : u₁ = u₀ × q = 2 × 3 = 6 ; u₂ = u₁ × q = 6 × 3 = 18 ; u₃ = u₂ × q = 18 × 3 = 54.
- Étape 3 : Trouver le terme général : uₙ = u₀ × qⁿ = 2 × 3ⁿ.
- Étape 4 : Calculer un terme quelconque, par exemple u₅ : u₅ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
Pour la somme des n premiers termes d'une suite géométrique (quand q ≠ 1) : Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ) / (1 - q). Par exemple, pour les 6 premiers termes (u₀ à u₅) : S = 2 × (1 - 3⁶) / (1 - 3) = 2 × (1 - 729) / (-2) = 2 × (-728) / (-2) = 728.
Variante : cas où le premier terme n'est pas u₀
Parfois la suite commence à u₁. Il faut adapter la formule : pour une suite arithmétique, uₙ = u₁ + (n-1) × r. Pour une suite géométrique, uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.
Exemple : suite arithmétique de premier terme u₁ = 10 et raison r = -2. Alors uₙ = 10 + (n-1) × (-2) = 10 - 2n + 2 = 12 - 2n. Vérifions : u₁ = 12 - 2 = 10, u₂ = 12 - 4 = 8, etc.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre raison et premier terme : la raison est ce qu'on ajoute ou multiplie, pas le point de départ.
- Oublier que la raison peut être négative : une suite arithmétique de raison négative décroît ; une suite géométrique de raison négative alterne les signes.
- Mal appliquer la formule de somme : vérifier le nombre de termes. Par exemple, de u₀ à uₙ inclus, il y a n+1 termes.
- Utiliser la mauvaise formule pour le terme général selon l'indice de départ.
Conseils pour réviser
Pour bien maîtriser les suites, pratique régulièrement avec des exercices variés. Tu peux trouver des ressources adaptées à ton niveau sur notre page collège et notre page lycée. N'hésite pas à t'entraîner avec des exercices corrigés sur notre section exercices. Pour préparer le brevet ou le bac, consulte aussi AlloBrevet et AlloBac.
En résumé, retiens bien les définitions et les formules. Avec de l'entraînement, tu deviendras un as des suites numériques !