Les inéquations, c'est souvent un passage obligé en seconde, et beaucoup d'élèves les redoutent. Pourtant, avec une méthode claire et un peu d'entraînement, tu verras que c'est très accessible. Dans cet article, on va voir ensemble comment résoudre une inéquation pas à pas, avec des exemples concrets et des pièges à éviter. À la fin, tu auras toutes les clés pour aborder sereinement tes contrôles et le bac. C'est parti !
C'est quoi une inéquation ?
Une inéquation, c'est comme une équation, mais au lieu d'avoir le signe "égal" (=), on a un signe d'inégalité : < (strictement inférieur), > (strictement supérieur), ≤ (inférieur ou égal), ou ≥ (supérieur ou égal). Le but est de trouver toutes les valeurs de l'inconnue (souvent notée x) qui rendent l'inégalité vraie.
Par exemple, dans l'inéquation 3x + 5 > 11, on cherche les valeurs de x telles que 3x + 5 soit plus grand que 11. La solution n'est pas un nombre unique comme pour une équation, mais souvent un intervalle ou une réunion d'intervalles.
Le vocabulaire est important : inconnue (la lettre), membre (chaque côté de l'inégalité), terme (chaque élément d'une somme), coefficient (le nombre qui multiplie l'inconnue). On parle de solution pour désigner chaque valeur qui vérifie l'inéquation, et d'ensemble des solutions pour toutes ces valeurs.
Règles de base pour résoudre une inéquation
Pour résoudre une inéquation, on utilise les mêmes techniques que pour une équation, mais avec une règle supplémentaire cruciale :
- On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres sans changer le sens.
- On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Si ce nombre est positif, le sens ne change pas. Si ce nombre est négatif, on inverse le sens de l'inégalité.
C'est ce dernier point qui piège beaucoup d'élèves. Par exemple, si tu as -2x < 4 et que tu divises par -2, tu obtiens x > -2 (le sens est inversé). On y reviendra plus en détail.
Méthode pas à pas pour résoudre une inéquation
Voici une méthode en 4 étapes qui fonctionne pour la plupart des inéquations du premier degré (celles où l'inconnue est à la puissance 1).
Étape 1 : Regrouper les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre
Comme pour une équation, on veut isoler l'inconnue. Pour cela, on ajoute ou soustraite des termes des deux côtés.
Étape 2 : Réduire chaque membre
On simplifie les expressions obtenues.
Étape 3 : Diviser (ou multiplier) par le coefficient de x
Attention au signe du coefficient ! Si le coefficient est négatif, on inverse le sens.
Étape 4 : Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou de droite graduée
On représente les solutions sur une droite graduée et on écrit l'intervalle correspondant.
Exemple 1 : résoudre une inéquation simple (niveau seconde)
Prenons l'inéquation : 4x - 7 ≤ 2x + 5
Étape 1 : On veut regrouper les x à gauche et les constantes à droite. On soustrait 2x des deux côtés pour enlever le 2x à droite :
4x - 7 - 2x ≤ 2x + 5 - 2x
Ce qui donne : 2x - 7 ≤ 5
Étape 2 : On ajoute 7 des deux côtés pour isoler le terme en x :
2x - 7 + 7 ≤ 5 + 7
D'où : 2x ≤ 12
Étape 3 : On divise par le coefficient de x, qui est 2 (positif, donc le sens ne change pas) :
2x / 2 ≤ 12 / 2
Donc : x ≤ 6
Étape 4 : L'ensemble des solutions est l'intervalle ]-∞ ; 6]. Sur une droite graduée, on place 6 et on hachure tout ce qui est à gauche, avec un crochet fermé en 6 (car ≤).
Exemple 2 : avec un coefficient négatif (cas piège)
Résolvons : -3x + 2 > 8
Étape 1 : On soustrait 2 des deux côtés :
-3x + 2 - 2 > 8 - 2
Soit : -3x > 6
Étape 2 : On divise par -3, qui est négatif, donc on inverse le sens :
-3x / -3 < 6 / -3
Attention : on passe de > à <. On obtient : x < -2
Étape 3 : L'ensemble des solutions est l'intervalle ]-∞ ; -2[. On met un crochet ouvert en -2 car c'est strictement inférieur.
Si tu oublies d'inverser, tu trouves x > -2, mais vérifions avec x = 0 : -3×0 + 2 = 2, qui n'est pas > 8, donc c'est faux. Avec x = -3 : -3×(-3) + 2 = 9 + 2 = 11, qui est bien > 8. Donc la solution est bien x < -2.
Inéquations avec fractions ou produits : le tableau de signes
En seconde, tu rencontres aussi des inéquations plus complexes, comme (x - 2)(x + 3) > 0 ou des inéquations avec des fractions. Pour celles-là, on utilise souvent un tableau de signes. C'est une méthode systématique qui consiste à étudier le signe de chaque facteur et d'en déduire le signe du produit.
Prenons l'exemple : (x - 2)(x + 3) > 0
Étape 1 : On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur : x - 2 = 0 donne x = 2 ; x + 3 = 0 donne x = -3.
Étape 2 : On place ces valeurs sur une droite graduée. Elles divisent la droite en trois intervalles : ]-∞ ; -3[, ]-3 ; 2[ et ]2 ; +∞[.
Étape 3 : On étudie le signe de chaque facteur sur chaque intervalle. Pour x - 2 : quand x > 2, c'est positif ; quand x < 2, c'est négatif. Pour x + 3 : quand x > -3, c'est positif ; quand x < -3, c'est négatif.
Étape 4 : On applique la règle des signes pour le produit : + × + = +, + × - = -, - × - = +. On obtient : sur ]-∞ ; -3[, le produit est positif (car - × - = +) ; sur ]-3 ; 2[, il est négatif ; sur ]2 ; +∞[, il est positif.
Comme on cherche > 0, l'ensemble des solutions est ]-∞ ; -3[ ∪ ]2 ; +∞[.
Cette méthode est très puissante et te servira aussi pour les inéquations avec des quotients (attention au dénominateur non nul).
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier d'inverser le sens quand on multiplie ou divise par un négatif. C'est l'erreur la plus classique. Toujours vérifier le signe du coefficient.
- Confondre ≤ et < pour les crochets. Si c'est ≤, le crochet est fermé [ ou ] ; si c'est strictement inférieur, le crochet est ouvert ] ou [.
- Ne pas vérifier sa solution. Prends une valeur de l'intervalle trouvé et remplace-la dans l'inéquation de départ pour vérifier que c'est juste.
- Oublier le dénominateur non nul dans une inéquation avec fraction. Par exemple, dans 2/(x-1) > 3, il faut exclure x = 1.
- Mal appliquer la distributivité. Par exemple, -2(x + 3) = -2x - 6, et non -2x + 3.
Comment t'entraîner efficacement
Pour progresser en algèbre, il n'y a pas de secret : il faut pratiquer. Commence par des inéquations simples, puis augmente progressivement la difficulté. Utilise des exercices variés : résoudre, représenter sur une droite, écrire l'intervalle, et même résoudre des problèmes concrets (comme des problèmes d'âge ou de budget).
Sur AlloAlgebre.fr, tu trouveras des exercices interactifs adaptés à ton niveau, avec des corrections détaillées. C'est un excellent moyen de t'entraîner et de vérifier que tu as bien compris.
Si tu es en collège, commence par revoir les bases avec les exercices de la section collège. Si tu es au lycée, tu peux aller directement sur la section lycée pour des exercices plus poussés.
Inéquations et bac : à quoi t'attendre ?
Au bac, les inéquations peuvent apparaître dans des exercices d'algèbre, mais aussi dans des problèmes de fonctions, de suites ou de probabilités. Il est donc essentiel de maîtriser cette notion. Par exemple, pour étudier le signe d'une fonction, on résout souvent une inéquation. Pour trouver un seuil (par exemple, à partir de quel rang une suite dépasse une valeur), on résout aussi une inéquation.
En plus, les inéquations sont au programme du brevet (en troisième) et du bac. Si tu veux réviser pour le brevet, consulte AlloBrevêt ; pour le bac, AlloBac propose des ressources adaptées.
Conclusion
Les inéquations, ce n'est pas sorcier ! Avec la méthode que tu as apprise ici (regrouper, réduire, diviser en pensant au signe, écrire l'intervalle), tu peux résoudre la plupart des inéquations du premier degré. Pour les produits et quotients, le tableau de signes est ton allié. N'oublie pas de vérifier tes solutions et de t'entraîner régulièrement.
Tu as maintenant toutes les clés pour réussir. Alors, lance-toi, fais des exercices, et tu verras que les inéquations deviendront vite un jeu d'enfant. Bon courage et bonne réussite dans tes études !