Tu es en seconde, première ou terminale et tu dois maîtriser la fonction du second degré ? Pas de panique ! Dans cet article, on va voir ensemble ce qu'est une fonction du second degré, comment la mettre sous forme canonique, et comment résoudre une équation du second degré. On va détailler chaque étape avec des exemples concrets. Prêt ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'une fonction du second degré ?
Une fonction du second degré est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0. On l'appelle aussi fonction polynomiale de degré 2. La courbe représentative d'une telle fonction est une parabole. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (forme en U) ; si a < 0, elle est tournée vers le bas (forme en ∩).
La forme canonique : une écriture clé
La forme canonique d'une fonction du second degré est une autre manière de l'écrire, qui met en évidence le sommet de la parabole. Elle s'obtient par une méthode appelée mise sous forme canonique. La forme canonique est :
f(x) = a(x - α)² + β
où (α ; β) sont les coordonnées du sommet de la parabole. On a :
- α = -b / (2a)
- β = f(α) = aα² + bα + c
Cette forme est très utile pour étudier les variations de la fonction et pour résoudre certaines équations.
Méthode étape par étape : mettre sous forme canonique
Voici les étapes pour passer de la forme développée f(x) = ax² + bx + c à la forme canonique.
Étape 1 : Factoriser par a
On commence par factoriser les deux premiers termes par a :
f(x) = a(x² + (b/a)x) + c
Étape 2 : Reconnaître le début d'un carré
On utilise l'identité remarquable : (x + d)² = x² + 2dx + d². Ici, on a x² + (b/a)x. On cherche d tel que 2d = b/a, donc d = b/(2a). Alors :
x² + (b/a)x = (x + b/(2a))² - (b/(2a))²
Étape 3 : Réécrire f(x)
On remplace dans l'expression :
f(x) = a[ (x + b/(2a))² - (b/(2a))² ] + c
f(x) = a(x + b/(2a))² - a*(b/(2a))² + c
f(x) = a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c
Étape 4 : Simplifier la constante
On met les deux constantes au même dénominateur :
f(x) = a(x + b/(2a))² + ( -b²/(4a) + c )
f(x) = a(x + b/(2a))² + ( -b² + 4ac )/(4a)
On pose α = -b/(2a) (attention au signe car x - α = x + b/(2a) donne α = -b/(2a)) et β = f(α) = ( -b² + 4ac )/(4a).
Exemple chiffré : f(x) = 2x² - 8x + 5
Appliquons la méthode.
Étape 1 : a = 2, b = -8, c = 5. On factorise par 2 :
f(x) = 2(x² - 4x) + 5
Étape 2 : On a x² - 4x. d = -4/2 = -2, donc (x - 2)² = x² - 4x + 4, donc x² - 4x = (x - 2)² - 4.
Étape 3 : On remplace :
f(x) = 2[(x - 2)² - 4] + 5 = 2(x - 2)² - 8 + 5 = 2(x - 2)² - 3.
La forme canonique est f(x) = 2(x - 2)² - 3. Le sommet est en (2 ; -3).
Résoudre une équation du second degré
Pour résoudre l'équation ax² + bx + c = 0, on peut utiliser la forme canonique. On calcule le discriminant Δ = b² - 4ac.
- Si Δ > 0, deux solutions réelles : x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a).
- Si Δ = 0, une solution double : x₀ = -b/(2a).
- Si Δ < 0, pas de solution réelle.
Exemple : résoudre 2x² - 8x + 5 = 0
On a a=2, b=-8, c=5. Δ = (-8)² - 4*2*5 = 64 - 40 = 24 > 0. Les solutions sont :
x₁ = (8 - √24)/(4) = (8 - 2√6)/4 = 2 - (√6)/2
x₂ = (8 + √24)/(4) = 2 + (√6)/2.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier le signe de a : La forme canonique commence toujours par a(x - α)² + β. Si a est négatif, attention aux signes.
- Confondre α et β : α est l'abscisse du sommet, β l'ordonnée. α = -b/(2a), β = f(α).
- Calculer Δ de travers : Δ = b² - 4ac, pas b² - 4a.
- Oublier le facteur a dans la résolution : Les solutions sont (-b ± √Δ)/(2a), pas seulement (-b ± √Δ)/2.
Conseils pour progresser
Pour bien maîtriser le second degré, entraîne-toi régulièrement avec des exercices variés. Tu peux trouver des exercices corrigés sur Allo Algèbre pour t'entraîner. Pour les révisions, consulte les fiches de révision et pour aller plus loin, la section lycée propose des contenus adaptés. Si tu prépares le brevet ou le bac, n'hésite pas à visiter Allo Brevet et Allo Bac.
Conclusion
La fonction du second degré est un pilier de l'algèbre au lycée. Avec la forme canonique et le discriminant, tu as toutes les clés pour étudier ces fonctions et résoudre les équations. Continue à t'entraîner, et n'oublie pas : chaque erreur est une occasion d'apprendre. Tu vas y arriver !