Tu bloques sur le sens de variation d'une fonction ? Pas de panique ! Avec cette checklist, tu vas apprendre à déterminer si une fonction est croissante ou décroissante, et à construire un tableau de variations sans te tromper. On va y aller étape par étape, avec des exemples concrets. Prêt·e ? C'est parti !
Qu'est-ce que le sens de variation d'une fonction ?
Le sens de variation d'une fonction décrit comment évoluent les images quand la variable (souvent x) augmente. On dit qu'une fonction est :
- Croissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) augmente aussi.
- Décroissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) diminue.
- Constante si f(x) ne change pas.
En classe de seconde, on étudie souvent des fonctions simples comme les fonctions affines, carrées ou inverses. Au lycée, on utilise la dérivée pour déterminer le sens de variation. Mais avant de foncer, il faut bien comprendre la logique.
Pourquoi c'est important ?
Le sens de variation est essentiel pour :
- Comprendre le comportement d'une fonction (par exemple, une fonction qui modélise une population qui augmente puis diminue).
- Résoudre des inéquations graphiquement.
- Trouver des extremums (maximum ou minimum) d'une fonction.
- Construire un tableau de variations, outil indispensable pour résumer l'évolution d'une fonction.
Alors, prêt·e à maîtriser ça ? Suis la checklist !
La checklist en 5 étapes
Voici la méthode générale pour déterminer le sens de variation. Adapte-la selon ton niveau : en seconde, on utilise souvent la forme de la fonction ; en première et terminale, on passe par la dérivée.
Étape 1 : Identifier le type de fonction
Avant tout, regarde la fonction : est-elle affine, carrée, inverse, polynôme, rationnelle ? Chaque type a ses propriétés. Par exemple, la fonction carrée est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. La fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[. Si c'est une fonction affine, le coefficient directeur te donne directement le sens.
Étape 2 : Calculer la dérivée (si tu es en première ou terminale)
Pour une fonction dérivable, le signe de la dérivée f'(x) indique le sens de variation :
- Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
- Si f'(x) < 0, alors f est décroissante.
- Si f'(x) = 0, la fonction est constante (ou change de sens aux points où la dérivée s'annule).
Donc, la première chose à faire, c'est de calculer f'(x).
Étape 3 : Étudier le signe de la dérivée
Une fois que tu as f'(x), tu dois déterminer pour quelles valeurs de x elle est positive, négative ou nulle. Pour cela, tu résous f'(x) > 0 et f'(x) < 0. Si c'est une expression du second degré, tu utilises le discriminant. Si c'est un quotient, tu étudies le signe du numérateur et du dénominateur.
Étape 4 : Construire le tableau de variations
Maintenant, tu peux dresser le tableau de variations. Sur la première ligne, tu mets les valeurs de x qui annulent la dérivée (et les bornes de l'ensemble de définition). Sur la deuxième ligne, tu indiques le signe de f'(x) avec des + et des -. Sur la troisième ligne, tu places les flèches : montante si f'(x) > 0, descendante si f'(x) < 0. N'oublie pas de calculer les valeurs de f(x) aux points importants !
Étape 5 : Vérifier avec des valeurs
Pour être sûr·e de ne pas t'être trompé·e, prends des valeurs de x dans chaque intervalle et calcule f(x). Si les résultats correspondent aux flèches, c'est bon !
Exemple 1 : une fonction affine (seconde)
Soit f(x) = -2x + 3. C'est une fonction affine. Le coefficient directeur est -2, qui est négatif. Donc la fonction est décroissante sur ℝ. Facile ! Mais si tu veux vérifier, prends x = 1 : f(1) = -2 + 3 = 1. Prends x = 2 : f(2) = -4 + 3 = -1. On voit bien que quand x augmente, f(x) diminue. Le tableau de variations est simple : une flèche qui descend de +∞ à -∞.
Exemple 2 : une fonction polynôme du second degré (première)
Soit f(x) = x² - 4x + 5. On va déterminer son sens de variation.
Étape 1 : C'est une fonction polynôme du second degré, avec a = 1 > 0. Elle est donc décroissante puis croissante (forme de parabole). Mais on va le prouver avec la dérivée.
Étape 2 : Calculons la dérivée : f'(x) = 2x - 4.
Étape 3 : ��tudions le signe de f'(x). On résout f'(x) > 0 : 2x - 4 > 0, donc x > 2. Et f'(x) < 0 : x < 2. Donc f' est négative sur ]-∞ ; 2[ et positive sur ]2 ; +∞[.
Étape 4 : Tableau de variations :
Sur ]-∞ ; 2], f est décroissante (flèche vers le bas), sur [2 ; +∞[, f est croissante (flèche vers le haut). Calculons f(2) : 2² - 4*2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1. Donc le minimum est 1 en x = 2.
Étape 5 : Vérifions : f(0) = 5, f(4) = 16 - 16 + 5 = 5. On voit bien que la fonction descend jusqu'à 1 puis remonte.
Exemple 3 : une fonction rationnelle (terminale)
Soit f(x) = (2x - 1) / (x + 3), définie sur ℝ \ {-3}. Déterminons son sens de variation.
Étape 1 : C'est une fonction rationnelle. On va utiliser la dérivée.
Étape 2 : Calculons f'(x) avec la formule (u/v)' = (u'v - uv') / v². Ici, u = 2x - 1, u' = 2 ; v = x + 3, v' = 1. Donc f'(x) = (2*(x+3) - (2x-1)*1) / (x+3)² = (2x + 6 - 2x + 1) / (x+3)² = 7 / (x+3)².
Étape 3 : Le dénominateur est toujours positif (c'est un carré), et le numérateur est 7 > 0. Donc f'(x) > 0 pour tout x ≠ -3. Ainsi, f est croissante sur ]-∞ ; -3[ et sur ]-3 ; +∞[.
Étape 4 : Tableau de variations : deux flèches montantes, avec une double barre en x = -3 (valeur interdite).
Étape 5 : Vérifions : f(0) = -1/3 ≈ -0.33, f(1) = 1/4 = 0.25, f(2) = 3/5 = 0.6. On voit que ça augmente bien.
Erreurs fréquentes à éviter
Voici les pièges classiques :
- Oublier le domaine de définition : toujours vérifier où la fonction est définie, surtout pour les fractions.
- Confondre le signe de f(x) et le signe de f'(x) : ce qui compte pour le sens de variation, c'est le signe de la dérivée, pas celui de f.
- Ne pas calculer les valeurs aux bornes : un tableau de variations sans les valeurs de f aux points clés est incomplet.
- Mal interpréter le signe de la dérivée : si f'(x) > 0, la fonction monte, si f'(x) < 0, elle descend. Et si f'(x) = 0, elle est constante (ou il y a un extremum).
- Oublier les valeurs interdites : dans le tableau, on met une double barre.
Pour éviter ces erreurs, entraîne-toi avec des exercices variés. Tu peux trouver des exercices d'algèbre sur notre site, ainsi que des fiches de révision adaptées à chaque niveau.
Conseils pour progresser
La clé, c'est la pratique ! Commence par des fonctions simples, puis augmente la difficulté. N'hésite pas à tracer des courbes à la calculatrice pour visualiser le sens de variation. Et surtout, utilise la checklist à chaque fois :
- Fonction définie ?
- Dérivée calculée ?
- Signe de la dérivée étudié ?
- Tableau construit ?
- Vérification faite ?
En suivant cette méthode, tu gagneras en confiance et en rapidité. Si tu es en seconde, commence par les fonctions de référence. Si tu es en première ou terminale, maîtrise bien les dérivées. Pour aller plus loin, consulte nos ressources pour le lycée.
Conclusion
Voilà, tu as maintenant toutes les clés pour déterminer le sens de variation d'une fonction et construire un tableau de variations impeccable. Rappelle-toi : c'est une compétence qui se travaille, alors ne te décourage pas. Avec de l'entraînement, tu vas y arriver ! Et si tu as besoin d'aide, pense à consulter nos exercices corrigés ou nos fiches de cours. Tu peux aussi jeter un œil à AlloBrevet pour réviser le brevet, ou AlloBac pour le bac. Bon courage !