Bienvenue dans ce guide complet sur la fonction carré ! Tu es en classe de seconde ou de première, et tu dois maîtriser cette fonction essentielle. Pas de panique : on va tout t'expliquer pas à pas, avec des exemples concrets et des méthodes claires. À la fin, tu sauras tracer sa courbe (la fameuse parabole), comprendre ses variations, et résoudre des équations et inéquations qui la mettent en jeu.
Qu'est-ce que la fonction carré ?
La fonction carré est une fonction très particulière. Sa définition est simple : elle associe à tout nombre réel x son carré, c'est-à-dire x². On la note souvent f(x) = x².
Par exemple :
- f(2) = 2² = 4
- f(-3) = (-3)² = 9
- f(0) = 0
- f(1,5) = 1,5² = 2,25
Cette fonction est définie pour tous les nombres réels. Son ensemble de définition est donc ℝ (l'ensemble des réels). Autrement dit, tu peux toujours calculer le carré d'un nombre, quel qu'il soit.
La représentation graphique : la parabole
Quand on trace la courbe représentative de la fonction carré, on obtient une parabole. C'est une courbe symétrique qui ressemble à un U (ou plutôt à un ∪). Cette parabole est un objet géométrique très important en algèbre et en analyse.
Pour tracer la courbe, on calcule quelques valeurs (on fait un tableau de valeurs), puis on place les points dans un repère et on les relie.
Voici un tableau de valeurs pour x entre -3 et 3 :
- x = -3 → y = 9
- x = -2 → y = 4
- x = -1 → y = 1
- x = 0 → y = 0
- x = 1 → y = 1
- x = 2 → y = 4
- x = 3 → y = 9
Place ces points dans un repère, tu verras apparaître une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Cette symétrie est une propriété importante : la fonction carré est une fonction paire.
Propriété de parité
Une fonction est paire si pour tout x, f(-x) = f(x). Pour la fonction carré, c'est bien le cas : (-x)² = x². Graphiquement, cela signifie que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. C'est pour cela que la parabole a cette forme régulière.
Les variations de la fonction carré
Comprendre les variations d'une fonction, c'est savoir si elle monte ou descend selon les valeurs de x. Pour la fonction carré, c'est très simple :
- Sur l'intervalle ]-∞ ; 0], la fonction est décroissante : quand x augmente, x² diminue.
- Sur l'intervalle [0 ; +∞[, la fonction est croissante : quand x augmente, x² augmente.
Elle atteint son minimum en x = 0, où f(0) = 0. C'est le sommet de la parabole, situé à l'origine du repère.
Pour bien visualiser, prends des exemples :
- De x = -3 à x = -1, les carrés passent de 9 à 1 : ça descend.
- De x = 1 à x = 3, les carrés passent de 1 à 9 : ça monte.
Méthode : résoudre une équation du type x² = a
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l'égalité. Pour les équations avec x², il y a des règles précises.
Prenons l'équation x² = 9. Quelles sont les solutions ?
On sait que 3² = 9 et (-3)² = 9. Donc les solutions sont x = 3 et x = -3.
Mais comment le faire de façon systématique ? Voici la méthode :
- Étape 1 : Identifier la forme de l'équation. On a x² = a, où a est un nombre réel.
- Étape 2 : Selon le signe de a, on distingue trois cas :
- Si a > 0 : il y a deux solutions : x = √a et x = -√a.
- Si a = 0 : il y a une seule solution : x = 0.
- Si a < 0 : il n'y a aucune solution (car un carré est toujours positif ou nul).
Exemple résolu : Résoudre x² = 5.
Ici a = 5 > 0, donc deux solutions : x = √5 et x = -√5. On peut aussi écrire x = ±√5.
Autre exemple : Résoudre x² = -4.
a = -4 < 0, donc aucune solution. En effet, un carré ne peut pas être négatif.
Cas piège : quand l'équation n'est pas directement sous la forme x² = a
Parfois, il faut d'abord réorganiser l'équation. Par exemple : 2x² - 8 = 0.
Étape 1 : Isoler x². On ajoute 8 des deux côtés : 2x² = 8.
Étape 2 : Diviser par 2 : x² = 4.
Étape 3 : Appliquer la règle : x = 2 ou x = -2.
Donc les solutions sont 2 et -2.
Méthode : résoudre une inéquation du type x² < a ou x² > a
Les inéquations avec x² demandent de raisonner avec la courbe. Prenons l'exemple de x² < 4.
On cherche les valeurs de x dont le carré est strictement inférieur à 4. Graphiquement, on regarde la parabole : les points où la courbe est sous la droite horizontale y = 4.
On sait que x² = 4 donne x = 2 ou x = -2. Pour x² < 4, on prend les x entre -2 et 2.
Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle ]-2 ; 2[.
Exemple résolu : Résoudre x² ≥ 9.
Ici, on veut les x où x² est supérieur ou égal à 9. Graphiquement, on prend les parties de la parabole au-dessus de la droite y = 9.
Les solutions sont x ≤ -3 ou x ≥ 3. En notation d'intervalles : ]-∞ ; -3] ∪ [3 ; +∞[.
Résolution algébrique
On peut aussi le faire algébriquement en factorisant :
x² - 9 ≥ 0 → (x - 3)(x + 3) ≥ 0.
On fait un tableau de signes, et on trouve le même résultat.
La fonction carré et les autres fonctions : les translations
Au lycée, on étudie souvent des fonctions dérivées de la fonction carré, comme f(x) = x² + 2 ou f(x) = (x - 1)². Ces fonctions ont des courbes qui sont des translations de la parabole de base.
Par exemple, f(x) = x² + 2 : la courbe est décalée de 2 unités vers le haut. Le sommet est en (0 ; 2).
Pour f(x) = (x - 1)² : la courbe est décalée de 1 unité vers la droite. Le sommet est en (1 ; 0).
Ces transformations sont très utiles pour comprendre la forme générale d'une parabole.
Erreurs fréquentes à éviter
Voici les erreurs les plus courantes quand on travaille avec la fonction carré :
- Confondre x² et 2x : x² est le produit x × x, alors que 2x est la somme x + x. Par exemple, pour x = 3, x² = 9 alors que 2x = 6.
- Oublier la solution négative : quand tu résous x² = 16, n'oublie pas que -4 est aussi solution.
- Croire que x² est toujours positif : oui, mais attention, x² est positif ou nul, jamais négatif.
- Mal appliquer les règles sur les inégalités : si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité.
Conseils de méthode et de révision
Pour bien maîtriser la fonction carré, voici quelques conseils :
- Apprends le tableau de variations par cœur : c'est la base.
- Entraîne-toi à tracer la parabole : fais un tableau de valeurs, place les points, et relie-les avec une courbe lisse.
- Résous des équations et inéquations : plus tu t'entraînes, plus c'est facile.
- Utilise les fiches de révision : sur AlloAlgèbre, tu trouveras des fiches synthétiques pour réviser.
Et surtout, n'hésite pas à t'entraîner avec les exercices : exercices d'algèbre pour t'exercer sur la fonction carré et bien d'autres sujets.
Conclusion
La fonction carré est une brique essentielle de l'algèbre. Avec sa courbe en parabole, ses variations simples et ses règles de résolution, elle est accessible si on prend le temps de comprendre. Tu as maintenant toutes les clés : définition, représentation, variations, résolution d'équations et d'inéquations. Continue à t'entraîner, et tu verras que tout devient naturel.
Si tu es en classe de seconde, ces notions sont au programme de ton année. Pour aller plus loin et préparer le bac, consulte aussi les ressources de AlloBac.