Tu es en 3e et tu tombes sur une équation comme (x + 2)(x − 5) = 0 ? Bonne nouvelle : c'est l'une des équations les plus faciles à résoudre quand tu connais la règle du produit nul. Dans cet article, on t'explique pas à pas comment reconnaître une équation produit nul, comment la résoudre sans erreur, et comment factoriser pour la faire apparaître. À la fin, tu sauras traiter ce type d'équation les yeux fermés (ou presque).
Qu'est-ce qu'une équation produit nul ?
Une équation produit nul est une équation de la forme :
A × B = 0
où A et B sont des expressions qui contiennent l'inconnue (souvent notée x). Par exemple : (x + 2)(x − 5) = 0 est une équation produit nul. Ici, A = x + 2 et B = x − 5.
La règle fondamentale
Voici la propriété que tu dois absolument retenir :
Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Autrement dit : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
Attention au mot « ou » : il signifie que les deux possibilités sont acceptables, pas qu'il faut les deux en même temps. Une seule suffit pour que le produit soit nul.
Vocabulaire à connaître
- Inconnue : la lettre dont on cherche la valeur (souvent x).
- Facteur : chaque expression multipliée dans un produit. Dans (x + 2)(x − 5), les facteurs sont (x + 2) et (x − 5).
- Solution : valeur de l'inconnue qui rend l'équation vraie.
- Membre : chaque côté du signe =. Ici, le membre de gauche est (x + 2)(x − 5), le membre de droite est 0.
Méthode pas à pas pour résoudre une équation produit nul
Voici la méthode en 4 étapes. Applique-la à chaque fois, tu ne te tromperas plus.
Étape 1 : Vérifier que l'équation est bien un produit égal à 0
L'équation doit être de la forme « quelque chose × quelque chose = 0 ». Si ce n'est pas le cas, il faudra peut-être factoriser (on verra ça plus loin).
Étape 2 : Écrire que chaque facteur peut être nul
Tu écris deux petites équations : la première où le premier facteur vaut 0, la seconde où le second facteur vaut 0.
Étape 3 : Résoudre chaque petite équation séparément
Ce sont des équations du premier degré toutes simples. Tu isoles x dans chacune.
Étape 4 : Conclure avec les solutions
Tu rassembles les solutions trouvées. L'ensemble des solutions s'écrit souvent entre accolades : S = {…}.
Exemple 1 entièrement résolu
Résolvons : (x + 2)(x − 5) = 0.
Étape 1 : C'est bien un produit de deux facteurs égal à 0. Parfait.
Étape 2 : Un produit est nul si l'un des facteurs est nul. Donc :
x + 2 = 0 ou x − 5 = 0
Étape 3 : On résout chaque équation.
- x + 2 = 0 donne x = −2 (on enlève 2 des deux côtés).
- x − 5 = 0 donne x = 5 (on ajoute 5 des deux côtés).
Étape 4 : Les solutions sont −2 et 5. On écrit : S = {−2 ; 5}.
Vérification rapide : si x = −2, alors (x + 2) = 0, donc le produit vaut 0. Si x = 5, alors (x − 5) = 0, donc le produit vaut 0. C'est juste !
Deuxième exemple : quand il faut d'abord factoriser
Parfois, l'équation n'est pas directement sous forme de produit. Il faut la transformer. C'est là que la factorisation entre en jeu.
Exemple 2 : x² − 9 = 0
Ici, ce n'est pas un produit au départ. Mais x² − 9 est une différence de deux carrés : x² − 3². On utilise l'identité remarquable a² − b² = (a − b)(a + b).
Étape 1 : Factoriser. x² − 9 = (x − 3)(x + 3). L'équation devient (x − 3)(x + 3) = 0.
Étape 2 : Produit nul : x − 3 = 0 ou x + 3 = 0.
Étape 3 : x = 3 ou x = −3.
Étape 4 : S = {−3 ; 3}.
Exemple 3 avec un facteur commun : (x + 1)(2x − 4) + (x + 1)(x + 7) = 0
Ici, il y a un facteur commun (x + 1). On factorise :
(x + 1)[(2x − 4) + (x + 7)] = 0
On simplifie l'intérieur : (2x − 4) + (x + 7) = 3x + 3.
Donc : (x + 1)(3x + 3) = 0.
On peut encore factoriser 3 dans le deuxième facteur : 3x + 3 = 3(x + 1). Mais ce n'est pas obligatoire. Résolvons directement :
- x + 1 = 0 donne x = −1.
- 3x + 3 = 0 donne 3x = −3, donc x = −1.
Les deux facteurs donnent la même solution. L'ensemble des solutions est S = {−1}. C'est un cas où il n'y a qu'une seule solution, même si l'équation semble en avoir deux au départ. Pas de panique, c'est normal !
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier une solution : Beaucoup d'élèves trouvent x = 3 et oublient x = −3 dans x² − 9 = 0. Pense toujours aux deux facteurs.
- Écrire « et » au lieu de « ou » : A × B = 0 signifie A = 0 ou B = 0. Si tu écris « et », tu cherches un x qui annule les deux facteurs en même temps, ce qui est rarement le cas.
- Diviser par x : Ne divise jamais par x dans une équation produit nul. Par exemple, dans x(x − 4) = 0, si tu divises par x, tu perds la solution x = 0. Utilise toujours la règle du produit nul.
- Mal factoriser : Vérifie tes identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b).
- Ne pas vérifier : Remplace toujours tes solutions dans l'équation de départ pour éviter les erreurs de calcul.
Conseils pour progresser en équation produit nul
Pour maîtriser cette notion, entraîne-toi régulièrement. Commence par des équations déjà factorisées, puis passe à des équations à factoriser. Tu peux trouver des exercices corrigés pour t'entraîner. Si tu es au collège, va voir la section collège ; au lycée, la section lycée t'attend. Et pour réviser le brevet, n'hésite pas à consulter AlloBrevet.
Conclusion
L'équation produit nul est un outil puissant et simple : dès que tu as un produit égal à zéro, tu sépares en deux (ou plus) petites équations. La clé, c'est de bien factoriser quand ce n'est pas déjà fait, et de ne jamais oublier une solution. Avec un peu de pratique, tu verras ces équations comme une formalité. Alors, à toi de jouer : prends ton cahier et entraîne-toi sur des exemples variés !