Tu te souviens de la proportionnalité ? Quand tu achètes 3 cahiers à 2 € pièce, tu paies 6 €. Si tu en achètes 5, tu paies 10 €. Le prix est toujours proportionnel au nombre de cahiers. En algèbre, cette relation s'écrit avec une fonction linéaire. Dans cet article, on va voir ce que c'est, comment la reconnaître, et surtout comment résoudre des exercices pas à pas, avec des exemples chiffrés et détaillés. Prêt à devenir un as ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ?
Une fonction linéaire est une fonction qui traduit une situation de proportionnalité. Elle s'écrit toujours sous la forme :
f(x) = a × x (ou f(x) = ax)
Ici, a est un nombre fixe appelé coefficient (ou coefficient de proportionnalité). C'est le nombre par lequel on multiplie pour passer de x à f(x). Par exemple, si f(x) = 2x, alors le coefficient est 2. Si f(x) = -3x, le coefficient est -3.
Vocabulaire à connaître
- Image : le résultat de f(x) pour une valeur de x. Par exemple, pour f(x) = 2x, l'image de 5 est 10 (car 2 × 5 = 10).
- Antécédent : la valeur de x qui donne une image donnée. Par exemple, pour f(x) = 2x, l'antécédent de 10 est 5 (car 2 × 5 = 10).
- Représentation graphique : la courbe d'une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l'origine du repère (le point (0 ; 0)).
Pour bien comprendre, pense à un abonnement de téléphone : si chaque gigaoût coûte 5 €, le prix total est proportionnel à la consommation. La fonction est f(x) = 5x, où x est le nombre de gigaoctets consommés.
Comment calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire ?
Calculer l'image est très simple : il suffit de remplacer x par le nombre donné dans l'expression de la fonction. On fait la multiplication.
Prenons un exemple : f(x) = 4x. On veut l'image de 7.
- Étape 1 : On repère la fonction : f(x) = 4x.
- Étape 2 : On remplace x par 7 : f(7) = 4 × 7.
- Étape 3 : On calcule : 4 × 7 = 28.
- Étape 4 : On conclut : l'image de 7 est 28. On note f(7) = 28.
Autre exemple avec un nombre négatif : f(x) = -2x. Image de -3 ?
- f(-3) = -2 × (-3)
- Rappel : moins × moins = plus, donc -2 × (-3) = 6.
- L'image de -3 est 6.
Comment trouver l'antécédent d'un nombre ?
Trouver l'antécédent revient à résoudre une équation. On cherche x tel que f(x) = y (le nombre donné). On écrit l'équation a × x = y, puis on la résout en isolant x.
Exemple : f(x) = 5x. Trouver l'antécédent de 20.
- Étape 1 : On écrit l'équation : 5x = 20.
- Étape 2 : On divise des deux côtés par 5 (car 5 est le coefficient) : x = 20 ÷ 5.
- Étape 3 : On calcule : x = 4.
- Étape 4 : On vérifie : 5 × 4 = 20, c'est bon ! L'antécédent de 20 est 4.
Si le coefficient est négatif, on fait attention aux signes. Par exemple, f(x) = -3x. Antécédent de 15 ?
- On écrit : -3x = 15.
- On divise par -3 : x = 15 ÷ (-3) = -5.
- Vérifions : -3 × (-5) = 15. Oui !
Comment déterminer le coefficient d'une fonction linéaire ?
Parfois, on ne connaît pas le coefficient, mais on connaît une image. Par exemple, on sait que f(3) = 12. Comment retrouver a ? C'est simple : on utilise la définition f(x) = ax. On remplace x par 3 et f(x) par 12, puis on résout.
Exemple : f(3) = 12. Trouvons a.
- On écrit : a × 3 = 12.
- On divise par 3 : a = 12 ÷ 3 = 4.
- Donc la fonction est f(x) = 4x.
Si on a deux points, on peut aussi calculer a avec la formule : a = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1). Mais attention, cette formule marche pour toute fonction affine, et pour une fonction linéaire, on peut aussi utiliser un point (x ; f(x)) et faire a = f(x) / x (si x ≠ 0).
Par exemple, si f(5) = 20, alors a = 20 / 5 = 4.
Cas particulier : la fonction linéaire f(x) = x et f(x) = -x
Quand a = 1, la fonction est f(x) = x. C'est la fonction identité : l'image d'un nombre est ce nombre lui-même. Quand a = -1, on a f(x) = -x : l'image est l'opposé.
Ces cas sont simples, mais il faut les reconnaître rapidement.
Erreurs fréquentes à éviter
Voici les pièges classiques que tu dois éviter à tout prix.
- Confondre image et antécédent : l'image est le résultat, l'antécédent est la valeur de départ. Pour l'image, on multiplie ; pour l'antécédent, on divise.
- Oublier le signe négatif : quand le coefficient est négatif, les images changent de signe. Par exemple, avec f(x) = -3x, l'image de 2 est -6, pas 6.
- Se tromper dans la division : pour trouver l'antécédent, on divise par le coefficient, pas par autre chose. Si f(x) = 4x et on cherche l'antécédent de 20, on fait 20 ÷ 4 = 5, pas 20 × 4.
- Croire que toute droite est une fonction linéaire : non ! La droite doit passer par l'origine. Si elle ne passe pas par (0 ; 0), c'est une fonction affine, pas linéaire.
- Oublier de vérifier : après avoir trouvé un antécédent, vérifie toujours en recalculant l'image. Ça prend 10 secondes et ça évite les erreurs.
Comment t'entraîner efficacement ?
Pour progresser en algèbre, il faut pratiquer régulièrement. Sur nos exercices d'algèbre, tu trouveras des séries sur les fonctions linéaires avec des corrections détaillées. Commence par des exercices simples, puis augmente la difficulté.
Si tu es au lycée, tu peux aussi consulter la section lycée pour des problèmes plus avancés. Et n'oublie pas de télécharger nos fiches de révision : elles sont parfaites pour retenir l'essentiel avant un contrôle.
Pour les révisions du brevet, jette un œil à AlloBrevET ; pour le bac, AlloBac t'aidera à consolider tes acquis.
Conclusion : les fonctions linéaires, un jeu d'enfant !
Les fonctions linéaires sont partout : en maths, en physique, en économie. Avec la méthode que tu as apprise ici, tu sais maintenant :
- Reconnaître une fonction linéaire (f(x) = ax).
- Calculer une image (multiplier par a).
- Trouver un antécédent (diviser par a).
- Déterminer le coefficient a à partir d'une image.
- Éviter les pièges classiques.
Continue à t'entraîner, et tu verras que ces notions deviendront automatiques. L'algèbre, c'est comme un jeu de construction : chaque brique compte. Alors, à toi de jouer !