Tu as déjà résolu des équations à une inconnue, comme 2x + 3 = 7. Mais que se passe-t-il quand il y a deux inconnues, x et y, et deux équations ? C'est ce qu'on appelle un système d'équations. Pas de panique ! Avec la méthode pas à pas, tu vas voir que c'est très logique. Dans cet article, on t'explique tout : la définition, les deux méthodes principales (substitution et combinaison), des exemples entièrement résolus, et les erreurs à éviter. Que tu sois au collège ou au lycée, tu vas progresser. Prêt ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations qui doivent être vraies en même temps. Le plus souvent, on a deux équations à deux inconnues (x et y). Résoudre le système, c'est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations simultanément.
Par exemple :
- Équation 1 : 2x + y = 8
- Équation 2 : x - y = 1
Le couple (x ; y) = (3 ; 2) est-il solution ? Vérifions :
- Dans l'équation 1 : 2×3 + 2 = 6 + 2 = 8. OK.
- Dans l'équation 2 : 3 - 2 = 1. OK.
Donc (3 ; 2) est bien la solution du système. Mais comment la trouver sans tâtonner ? C'est là que les méthodes interviennent.
Vocabulaire précis
- Inconnue : la lettre que l'on cherche (souvent x et y).
- Membre : chaque côté de l'équation (à gauche et à droite du signe =).
- Terme : chaque élément additionné ou soustrait dans un membre.
- Coefficient : le nombre qui multiplie l'inconnue (ex : dans 2x, le coefficient est 2).
- Solution : le couple de valeurs qui rend les deux équations vraies.
Au collège, on apprend surtout à résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues. Au lycée, on généralise à plus d'équations et on utilise parfois des matrices. Mais les méthodes de base restent les mêmes.
Méthode 1 : la substitution
La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation, puis à remplacer cette expression dans la seconde équation. Ainsi, on obtient une équation à une seule inconnue, que l'on sait résoudre.
Étapes de la méthode
- Choisis une des deux équations et isole une inconnue (par exemple, exprime y en fonction de x).
- Remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
- Résous l'équation obtenue à une inconnue.
- Trouve la valeur de la seconde inconnue en remplaçant dans l'expression trouvée à l'étape 1.
- Vérifie que le couple trouvé satisfait les deux équations de départ.
Exemple résolu pas à pas
Résolvons le système :
- (1) 2x + y = 8
- (2) x - y = 1
Étape 1 : On isole y dans l'équation (1) : y = 8 - 2x.
Étape 2 : On remplace y par (8 - 2x) dans l'équation (2) : x - (8 - 2x) = 1.
Étape 3 : On résout : x - 8 + 2x = 1 => 3x - 8 = 1 => 3x = 9 => x = 3.
Étape 4 : On remplace x par 3 dans y = 8 - 2x : y = 8 - 2×3 = 8 - 6 = 2.
Étape 5 : Vérification : dans (1) : 2×3 + 2 = 8 OK ; dans (2) : 3 - 2 = 1 OK.
La solution est donc le couple (3 ; 2).
La substitution est très utile quand une inconnue a un coefficient 1 (comme x - y = 1), car elle est facile à isoler.
Méthode 2 : la combinaison (ou élimination)
La combinaison (aussi appelée élimination) consiste à additionner ou soustraire les deux équations (éventuellement après multiplication) pour éliminer une inconnue. On obtient alors une équation à une seule inconnue.
Étapes de la méthode
- Multiplie éventuellement une ou les deux équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés (ou égaux).
- Additionne (ou soustrais) les deux équations membre à membre pour éliminer cette inconnue.
- Résous l'équation obtenue à une inconnue.
- Remplace la valeur trouvée dans l'une des équations de départ pour trouver l'autre inconnue.
- Vérifie la solution.
Exemple résolu pas à pas
Reprenons le même système :
- (1) 2x + y = 8
- (2) x - y = 1
Étape 1 : Les coefficients de y sont opposés (+1 et -1). On peut additionner directement.
Étape 2 : (1) + (2) : (2x + y) + (x - y) = 8 + 1 => 3x = 9.
Étape 3 : On résout : 3x = 9 => x = 3.
Étape 4 : On remplace x par 3 dans (2) : 3 - y = 1 => y = 2.
Étape 5 : Vérification : (1) 2×3 + 2 = 8 OK ; (2) 3 - 2 = 1 OK.
Solution : (3 ; 2).
La combinaison est souvent plus rapide quand les coefficients sont simples à ajuster.
Deuxième exemple : un cas piège
Résolvons le système :
- (1) 3x + 2y = 16
- (2) 2x - y = 6
Ici, les coefficients ne sont pas opposés. On peut utiliser la substitution ou la combinaison. Voyons la combinaison.
Étape 1 : On veut éliminer y. Les coefficients de y sont +2 et -1. Multiplions l'équation (2) par 2 pour que le coefficient de y devienne -2 :
(2) × 2 : 4x - 2y = 12.
Étape 2 : Additionnons (1) et (2)×2 : (3x + 2y) + (4x - 2y) = 16 + 12 => 7x = 28.
Étape 3 : 7x = 28 => x = 4.
Étape 4 : On remplace x par 4 dans (2) : 2×4 - y = 6 => 8 - y = 6 => y = 2.
Étape 5 : Vérification : (1) 3×4 + 2×2 = 12 + 4 = 16 OK ; (2) 2×4 - 2 = 8 - 2 = 6 OK.
Solution : (4 ; 2).
Piège fréquent : Oublier de multiplier tous les termes de l'équation, y compris le second membre. Ici, on a multiplié 2x - y = 6 par 2, ce qui donne 4x - 2y = 12. Il faut multiplier aussi le 6 par 2 !
Erreurs fréquentes et conseils
- Erreur de signe : Quand on soustrait une équation, il faut changer les signes de tous les termes. Par exemple, si on fait (1) - (2), on écrit (2x + y) - (x - y) = 2x + y - x + y = x + 2y. Attention au moins devant la parenthèse !
- Oubli de vérification : Prends toujours le temps de vérifier ta solution dans les deux équations de départ. Cela permet de détecter une erreur de calcul.
- Mauvaise isolation : En substitution, isole correctement l'inconnue. Par exemple, dans 2x + y = 8, y = 8 - 2x (et non y = 8 + 2x).
- Confusion entre les méthodes : La substitution et la combinaison sont deux méthodes différentes mais aboutissent au même résultat. Choisis celle qui te semble la plus simple selon les coefficients.
Conseils de méthode : Pour progresser en algèbre et en résolution de systèmes, entraîne-toi régulièrement. Commence par des systèmes simples, puis augmente la difficulté. N'hésite pas à refaire les exemples sans regarder la correction. Tu peux aussi consulter des exercices corrigés pour t'entraîner. Si tu es au collège, va voir la section collège ; au lycée, la section lycée propose des systèmes plus complexes.
Pour aller plus loin, tu peux aussi visiter AlloBrevet si tu prépares le brevet, ou AlloBac pour le baccalauréat. Ces sites du réseau Allo Education offrent des ressources complémentaires.
Conclusion
Résoudre un système d'équations, c'est comme résoudre une enquête : tu cherches les valeurs de x et y qui satisfont toutes les contraintes. Avec la substitution ou la combinaison, tu as deux outils puissants. Entraîne-toi, vérifie toujours tes solutions, et n'aie pas peur de recommencer. L'algèbre, c'est une compétence qui se construit pas à pas. Tu vas y arriver !