Tu as déjà croisé des équations comme x² + 5x + 6 = 0 et tu t'es demandé comment on pouvait bien trouver les solutions ? Ou peut-être que le mot « parabole » te fait un peu peur ? Pas de panique ! Aujourd'hui, on va décortiquer ensemble la fonction du second degré, aussi appelée trinôme du second degré. On verra comment la reconnaître, comment la transformer en forme canonique, comment calculer ses racines avec le discriminant, et comment dessiner son tableau de variations. À la fin, tu sauras tout faire, du collège au lycée. Prêt ? C'est parti !
1. Qu'est-ce qu'une fonction du second degré ?
Une fonction du second degré est une fonction définie sur ℝ par une expression de la forme :
f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.
Ici, a, b et c sont des nombres réels appelés coefficients. Le coefficient a ne doit jamais être nul, sinon on retombe sur une fonction affine (du premier degré).
On dit aussi que f(x) est un trinôme du second degré.
Exemples :
- f(x) = 2x² - 3x + 1 (a = 2, b = -3, c = 1)
- g(x) = -x² + 4 (a = -1, b = 0, c = 4)
- h(x) = x² (a = 1, b = 0, c = 0)
La courbe représentative d'une fonction du second degré s'appelle une parabole. Elle a une forme de U (si a > 0) ou de U inversé (si a < 0).
Vocabulaire à connaître
- Racine : solution de l'équation f(x) = 0.
- Sommet : point le plus bas (si a > 0) ou le plus haut (si a < 0) de la parabole.
- Axe de symétrie : droite verticale passant par le sommet, d'équation x = -b/(2a).
- Discriminant : nombre noté Δ (delta) qui permet de savoir combien de racines possède le trinôme.
2. La forme canonique : la clé de tout
La forme canonique d'un trinôme du second degré est une écriture qui met en évidence le sommet de la parabole. Elle s'écrit :
f(x) = a(x - α)² + β
où α = -b/(2a) et β = f(α).
Cette forme est super utile car elle donne directement les coordonnées du sommet : S(α ; β).
Comment passer de la forme développée à la forme canonique ?
Méthode étape par étape :
- On factorise par a (si a ≠ 1) : f(x) = a[x² + (b/a)x + c/a].
- On reconnaît le début d'un carré : x² + (b/a)x est le début de (x + b/(2a))².
- On ajoute et retranche (b/(2a))² pour compléter le carré.
- On simplifie pour obtenir la forme canonique.
Exemple résolu : f(x) = 2x² - 8x + 5.
Étape 1 : On factorise par 2 : f(x) = 2(x² - 4x) + 5.
Étape 2 : x² - 4x est le début de (x - 2)² car (x - 2)² = x² - 4x + 4.
Étape 3 : Donc x² - 4x = (x - 2)² - 4.
Étape 4 : On remplace : f(x) = 2[(x - 2)² - 4] + 5 = 2(x - 2)² - 8 + 5 = 2(x - 2)² - 3.
Forme canonique : f(x) = 2(x - 2)² - 3. Le sommet est S(2 ; -3).
3. Résoudre une équation du second degré avec le discriminant
Pour résoudre f(x) = 0, on calcule d'abord le discriminant :
Δ = b² - 4ac
Trois cas possibles :
- Si Δ > 0 : deux racines distinctes x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a).
- Si Δ = 0 : une seule racine (double) x₀ = -b/(2a).
- Si Δ < 0 : aucune racine réelle.
Exemple résolu : Résoudre 2x² - 8x + 5 = 0.
Étape 1 : Identifier a = 2, b = -8, c = 5.
Étape 2 : Calculer Δ = (-8)² - 4×2×5 = 64 - 40 = 24.
Étape 3 : Δ > 0, donc deux racines :
x₁ = (8 - √24)/(4) = (8 - 2√6)/4 = 2 - (√6)/2.
x₂ = (8 + √24)/4 = 2 + (√6)/2.
Les solutions sont x₁ ≈ 0,78 et x₂ ≈ 3,22.
Astuce : forme canonique et racines
Si tu as la forme canonique f(x) = a(x - α)² + β, tu peux résoudre f(x) = 0 en isolant (x - α)² :
(x - α)² = -β/a. Si -β/a ≥ 0, alors x = α ± √(-β/a).
C'est souvent plus rapide !
4. Tableau de variations et signe du trinôme
Le sens de variation dépend du signe de a :
- Si a > 0 : la fonction est décroissante sur ]-∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[. Le sommet est un minimum.
- Si a < 0 : la fonction est croissante sur ]-∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[. Le sommet est un maximum.
Pour le signe du trinôme, on utilise les racines :
- Si Δ > 0 : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé à l'intérieur.
- Si Δ = 0 : le trinôme est du signe de a partout, sauf en x₀ où il s'annule.
- Si Δ < 0 : le trinôme est toujours du signe de a.
Exemple : f(x) = 2x² - 8x + 5. a = 2 > 0, Δ = 24 > 0, racines x₁ ≈ 0,78 et x₂ ≈ 3,22. Donc f(x) > 0 à l'extérieur de [x₁ ; x₂] et f(x) < 0 à l'intérieur.
5. Erreurs fréquentes et conseils
- Oublier que a ≠ 0 : sinon ce n'est plus du second degré.
- Mal appliquer la formule du discriminant : attention aux signes, surtout si b est négatif.
- Confondre forme canonique et forme factorisée : la forme canonique met en évidence le sommet, la forme factorisée les racines.
- Ne pas vérifier les solutions : remplace toujours x par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Pour progresser, entraîne-toi régulièrement sur des exercices corrigés. Tu peux aussi consulter nos fiches de cours pour réviser les bases. Et si tu es au lycée, n'hésite pas à explorer nos ressources pour le lycée.
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6. Conclusion
Tu sais maintenant tout sur la fonction du second degré : forme développée, forme canonique, discriminant, racines, variations et signe. C'est un chapitre clé au lycée, mais avec de la méthode et un peu de pratique, tu vas y arriver sans problème. N'oublie pas : la clé, c'est de comprendre chaque étape et de t'entraîner régulièrement. Allez, à toi de jouer !