Tu as une évaluation dans une semaine et les équations du premier degré te font un peu peur ? Bonne nouvelle : c'est l'un des chapitres les plus « rentables » en maths. Avec une méthode claire et 7 jours de travail régulier, tu peux passer de « je ne sais pas par où commencer » à « je résous une équation à une inconnue sans hésiter ». Dans cet article, on te donne un plan de révision jour par jour, la méthode officielle étape par étape, deux exemples entièrement résolus, et les pièges classiques à éviter. Prêt ? C'est parti.
1. Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?
Une équation est une égalité qui contient une (ou plusieurs) inconnue, souvent notée x. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs s'appellent les solutions.
On parle d'équation du premier degré (ou équation linéaire) quand l'inconnue x apparaît uniquement à la puissance 1 : pas de x², pas de x³, pas de x sous une racine, pas de x au dénominateur. La forme générale est : ax + b = 0 (avec a ≠ 0), ou plus souvent ce que tu rencontres en classe : ax + b = cx + d.
Vocabulaire précis à connaître (tu le retrouveras dans toutes les évaluations) :
- Membre de gauche et membre de droite : ce sont les deux expressions séparées par le signe « = ».
- Terme : chaque morceau additionné ou soustrait (par exemple dans 3x + 5, il y a deux termes : 3x et 5).
- Coefficient : le nombre qui multiplie l'inconnue (dans 3x, le coefficient est 3).
- Solution : la valeur de x qui vérifie l'égalité.
Exemple d'équation du premier degré : 5x − 7 = 2x + 8. Exemples qui ne sont PAS du premier degré : x² = 9 (deuxième degré), 1/x = 4 (inconnue au dénominateur), √x = 3 (inconnue sous la racine).
2. La règle d'or : on fait la même chose des deux côtés
Toute la résolution repose sur une idée simple mais fondamentale : une équation est une balance en équilibre. Si tu ajoutes, soustrais, multiplies ou divises par un même nombre (non nul) de chaque côté du signe « = », l'égalité reste vraie.
On en déduit deux opérations autorisées en permanence :
- Ajouter ou soustraire un même nombre (ou une même expression) aux deux membres.
- Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
En pratique, on utilise la version « raccourcie » que tu connais peut-être : « quand un terme change de membre, il change de signe ». C'est exact, mais attention : cette phrase ne marche que pour l'addition et la soustraction. Pour une multiplication, on ne « change pas de signe », on divise.
Le but du jeu est d'isoler x : à la fin, tu dois obtenir une ligne du type x = … .
3. Méthode étape par étape (avec exemple entièrement résolu)
Voici la méthode officielle, à appliquer dans cet ordre. On la déroule sur l'équation : 5x − 7 = 2x + 8.
Étape 1 — Repérer les deux membres et les termes en x
Membre de gauche : 5x − 7. Membre de droite : 2x + 8. Les termes en x sont 5x (à gauche) et 2x (à droite).
Étape 2 — Regrouper les termes en x dans un seul membre
On veut tous les x à gauche. Pour supprimer 2x à droite, on soustrait 2x aux deux membres :
5x − 7 − 2x = 2x + 8 − 2x
Ce qui donne : 3x − 7 = 8.
Étape 3 — Regrouper les nombres dans l'autre membre
On veut les nombres seuls à droite. On ajoute 7 aux deux membres (car à gauche on a « − 7 ») :
3x − 7 + 7 = 8 + 7
Ce qui donne : 3x = 15.
Étape 4 — Isoler x en divisant par le coefficient
3x signifie 3 × x. Pour isoler x, on divise les deux membres par 3 (coefficient non nul) :
3x / 3 = 15 / 3
D'où : x = 5.
Étape 5 — Vérifier la solution (réflexe indispensable)
On remplace x par 5 dans chaque membre de l'équation de départ :
- Membre de gauche : 5 × 5 − 7 = 25 − 7 = 18.
- Membre de droite : 2 × 5 + 8 = 10 + 8 = 18.
Les deux membres valent 18 : l'égalité est vraie. La solution est bien S = {5}.
Cette vérification prend 20 secondes et t'évite de perdre des points bêtement. Fais-la systématiquement, même quand tu es sûr de toi.
4. Deuxième exemple : le cas piège des parenthèses et des fractions
On résout maintenant : 3(x − 2) = 5x + 4 − 2(x + 3). Ce type d'équation mélange développement et réduction, c'est le classique du brevet et du contrôle de 3e.
Étape 1 — Développer chaque membre
À gauche : 3(x − 2) = 3x − 6.
À droite : 5x + 4 − 2(x + 3). Attention au signe moins devant la parenthèse ! −2(x + 3) = −2x − 6. Donc :
5x + 4 − 2x − 6 = 3x − 2.
L'équation devient : 3x − 6 = 3x − 2.
Étape 2 — Regrouper les x
On soustrait 3x aux deux membres :
3x − 6 − 3x = 3x − 2 − 3x
Ce qui donne : −6 = −2.
Étape 3 — Conclure
L'égalité −6 = −2 est fausse, quelle que soit la valeur de x. Cela signifie que l'équation n'a aucune solution. On écrit : S = ∅ (ensemble vide).
Piège classique : beaucoup d'élèves s'arrêtent en écrivant « x = 0 » ou « x n'existe pas ». Non ! Ici, c'est l'équation entière qui n'a pas de solution. À l'inverse, si tu obtiens 0 = 0 (une égalité toujours vraie), alors tous les nombres réels sont solutions : S = ℝ. Ces deux cas (S = ∅ et S = ℝ) tombent très souvent en évaluation.
Variante avec fraction
Résolvons : x/2 + 3 = 7.
Étape 1 : on soustrait 3 aux deux membres → x/2 = 4.
Étape 2 : on multiplie les deux membres par 2 (dénominateur) → x = 8.
Vérification : 8/2 + 3 = 4 + 3 = 7. Correct. Quand il y a plusieurs dénominateurs, multiplie toute l'équation par le produit ou le PPCM des dénominateurs pour tout mettre au même dénominateur.
5. Ton plan de révision en 7 jours
La régularité bat toujours le bachotage. Voici un programme réaliste de 20 à 30 minutes par jour.
Jour 1 — Vocabulaire et équations simples
Revois membre, terme, coefficient, solution. Résous 8 équations du type ax + b = c (par exemple 4x + 1 = 9, 7x − 3 = 11). Objectif : automatiser les étapes 3 et 4 de la méthode.
Jour 2 — Inconnue des deux côtés
Entraîne-toi sur ax + b = cx + d (comme 5x − 7 = 2x + 8). Fais 10 équations. Vérifie chaque solution en remplaçant x.
Jour 3 — Parenthèses
Développe puis réduis avant de résoudre. Attention au signe moins devant la parenthèse. 8 équations du type 3(x − 2) = 5x + 4.
Jour 4 — Fractions
Équations avec x/3, x/4, ou (x + 1)/2 = 5. Multiplie par le dénominateur pour éliminer les fractions. 6 à 8 équations.
Jour 5 — Cas particuliers
Cherche volontairement des équations sans solution (S = ∅) et des équations avec une infinité de solutions (S = ℝ). Comprends pourquoi.
Jour 6 — Problèmes concrets
Mets en équation un énoncé : « Le triple d'un nombre diminué de 5 vaut 16. Quel est ce nombre ? » → 3x − 5 = 16 → x = 7. Entraîne-toi sur 5 problèmes.
Jour 7 — Test chronométré
Refais 10 équations variées en 30 minutes, sans regarder la correction. Puis corrige et note tes erreurs. Pour t'entraîner davantage, pioche des exercices supplémentaires sur https://www.alloalgebre.fr/exercices.
6. Les 6 erreurs qui coûtent le plus de points
- Oublier de changer le signe en changeant de membre. Si tu passes +7 de l'autre côté, il devient −7. C'est la règle, pas une option.
- Mal distribuer le signe moins. −(x + 3) = −x − 3, pas −x + 3. Erreur numéro 1 dans les équations avec parenthèses.
- Diviser par le mauvais nombre. 3x = 15 donne x = 5 (on divise par 3), pas x = 12.
- Ne pas vérifier. 20 secondes de vérification sauvent une note.
- Confondre « pas de solution » et « x = 0 ». Si tu tombes sur −6 = −2, l'équation n'a pas de solution.
- Diviser par zéro. On ne divise jamais par 0 : si le coefficient de x est nul, l'équation n'est plus du premier degré, elle est soit impossible, soit toujours vraie.
Côté méthode, deux réflexes à garder :
- Écris chaque étape sur une ligne différente. Tu repères mieux tes erreurs.
- Note tes erreurs récurrentes dans un carnet. En algèbre, 80 % des points perdus viennent de 20 % d'erreurs répétées.
Pour approfondir les bases du calcul littéral au collège, consulte la page https://www.alloalgebre.fr/college. Si tu prépares le brevet, https://www.allobrevet.fr propose des annales et des fiches. Et si tu vises le lycée ou le bac, direction https://www.alloalgebre.fr/lycee et https://www.allobac.fr.
7. Conclusion : une semaine pour changer de niveau
Les équations du premier degré ne demandent aucun talent particulier : elles demandent une méthode et de la régularité. En appliquant le plan de 7 jours, en vérifiant tes solutions et en traquant tes erreurs, tu verras une progression nette. Ce chapitre est aussi une porte d'entrée : les inéquations, les systèmes d'équations et l'étude de fonctions au lycée reposent exactement sur les mêmes mécanismes. Alors, choisis ton jour 1, sors une feuille, et lance-toi. Tu es capable de le faire.